Dos: Mediciones no destructivas

A. Efecto fotoeléctrico.-
Absorción de un fotón en el átomo, emitiéndose un electrón. El átomo está inicialmente en un estado ligado $-\epsilon$, con función de onda $u_o(r)$. El estado final del electrón tiene una cantidad de movimiento $p$, y para el estado de ionización del átomo (continuo), el electrón es una partícula libre.

Se tiene:

$$\begin{eqnarray*} H_o &=& p^2/2m_e \\ \vec{p} &\rightarrow& \vec{p} - ie\vec{A}... ...hbar \omega &=& p^2/2m_e \\ \vec{p_e}+\hbar \vec{k} &=& \vec{p} \end{eqnarray*}$$

2.2 Amplitud de transición y sección eficaz.-

Utilizando teoría de perturbación no-relativista, la amplitud A es:

$$\begin{eqnarray*} A &=& <f\vert H_I\vert i> \\ &\sim& \frac{e}{m}\int e^{i \ve... ...& \hbar/p \ \ la \ \ longitud \ \ de \ \ onda \ \ de \ \ Broglie \end{eqnarray*}$$

Véase la fig. 2.4 de Green que muestra el coeficiente de absorción de masa (inversa del camino medio libre) en función de la energía del fotón incidente en plomo.

Comparando la sección eficaz fotoeléctrica a la de Thomson (scattering elástico de fotones con electrones libres):

$$\begin{eqnarray*} \sigma_{PE} &\sim& \frac{32 \pi}{3}\sqrt{2} (Z\alpha)^4 Z (\fr... ...a_{TH}} &\sim& 4 \sqrt2 (Z\alpha)^4 (m_e c^2/\hbar \omega)^{7/2} \end{eqnarray*}$$

Hasta energías del fotón menores que 1 MeV, el efecto fotoeléctrico domina. El scattering elastico relativista de Compton es importante entre 1 y 7 MeV en el caso del Pb. Finalmente, el proceso de aniquilación del fotón (producción de $e^-+e^+$ ) predomina a energías mayores que 10 MeV. Véase la fig. 2.4 de Green.

Véase figura 2.5 para el camino medio libre $<L>/\rho$ en función de la energía del fotón para distintos materiales.

2.3 Distribución angular de los foto electrones.-

2.4 El tubo fotomultiplicador: rápido, excelente para mediciones de tiempo de vuelo, especialmente para partículas con velocidades no-relativistas.

Detector de tiempo : material "centellador" delgado acoplado a un fotomultiplicador. La partícula pierde un poco de energía al atravezar el centellador, con lo que excita los electrones del cristal centellador (cambio de bandas, proceso complicado), finalmente se emite luz visible. Esta luz es capturada por el fotomultiplicador. Todo este proceso es rápido, del orden de $1\times 10^{-9} s$. Véase transparencia de un detector $\Delta E$ utilizado por nosotros.

El mecanismo de pérdida de energía (ionización, esencialmente interacción coulombiana de la partícula cargada con los electrones del detector) se discutirá mas adelante.

3. Radiación de Cerenkov.- Esta radiación se emite cuando una partícula atravieza un medio con una velocidad que excede la velocidad de la luz en ese medio. (Curioso, no?). Es un efecto de importancia para partículas con energías mayores que 1 GeV.

3.1 Unidades. $CGS \longleftrightarrow MKS$. Vease la tabla 3.1 de relaciones electromagnéticas.

5. Scattering elástico electromagnético.-

A.- Colisiones con un núcleo
- Colisiones simples ("single") : Rutherford scattering
- Colisiones multiples (dispersión angular)

B.- Transferencia de energía (importante sólo para los electrones del átomo). Ionización del átomo (liberación de electrones)

5.1 Colisiones simples.- Scattering Coulombiano de partícula con carga $ze$ contra un núcleo de carga atomica $Ze$ a un parámetro de impacto $b$, lo que produce una deflección en ángulo $\theta_R$

Una estimación simple del ángulo de deflección hace uso de la simetría central de la interacción coulombiana y del hecho que la fuerza varía como $1/r^2$. Así, el principal efecto es un cambio en la cantidad de movimiento transversal, $\Delta p_T$:

$$\begin{eqnarray*} \Delta p_T &\sim& F(b) \Delta t \\ F(b) &=& Ze^2/b^2 \\ \De... ...a}{bT} ,\ \ T=energ\'ia \ \ cin\'etica \ \ del \ \ proyectil \\ \end{eqnarray*}$$

5.2 La sección eficaz de scattering de Rutherford.-

$$\begin{eqnarray*} \frac{d\sigma_R}{d\Omega} &=& \frac{b}{sin \theta} \frac{db}{d... ...\frac{1} {{sin}^4(\theta /2)} \ \ (exacta \ \ y \ \ general) \\ \end{eqnarray*}$$

5.4 Consideraciones relativistas.- El campo eléctrico transversal, para un parámetro de impacto dado, aumenta con el factor $\gamma (= \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}})$ (Tabla 3.1 de Green.) Pero el tiempo de colisión decrese por el mismo factor $\gamma$ debido a la dilatación del tiempo. Así, el impulso transversal neto $\Delta p_t$ , y por consiguiente la transferencia de energía, se mantiene constante. Esto corresponde a la llamada zona "de ionización mínima", característica en la detección de partículas ionizantes del altas energías.

5.5 Scattering Coulombiano múltiple.- Notemos primero que hay un ángulo mínimo $\theta_{min}>0$ en el scattering de una partícula. Este ángulo está dado por al tamaño del átomo, es decir, por el radio de Bohr, $a_o$, ya que si el parámetro de impacto $b$ de la partícula incidente excede $\sim a_o$, el campo eléctrico del núcleo que afecta a la partícula se elimina por la presencia de los electrones del átomo ("shielding"). En otras palabras, para $b \sim > a_o$ la carga neta que ve la partícula es 0.

$$\begin{eqnarray*} \theta_{min} &=& b/a_o \\ \theta_{min} &\sim& 2Z\alpha/pva_o \\ \end{eqnarray*}$$

Esto implica que la integral de la sección efficaz diferencial $\textitalic no \ \ diverge$, ya que no hay scattering para $\theta \sim < \theta_{min}$. En otras palabras, para obtener la sección eficaz total de Rutherford, los límites de integración de la sección eficaz diferencial van desde $\theta_{min}$ a $\pi$ en vez de $0$ a $\pi$

Por la relación que hay entre el parámetro de impacto $b$ y el ángulo de scattering $\theta$, que, como vimos, es, para ángulos pequeños, $\theta=2Z\alpha/pvb$, podemos obtener la sección eficaz total de dos formas: a) integrando en el parámetro de impacto y b) integrando en el ángulo:

$$\begin{eqnarray*} a) \ \ \sigma &=& \int_{o}^{a_o} 2\pi b db \\ &\sim& \pi {a_... ...ar\sigma &\sim& \pi {a_o}^2, \ \ tal \ \ como \ \ en \ \ a). \par\end{eqnarray*}$$

Como se conoce la distribución en los ángulos de scattering, podemos calcular el promedio del ángulo de scattering. Para scattering múltiple, como veremos en seguida, es más conveniente calcular el promedio de $\theta^2$ en vez de $\theta$.

$$\begin{eqnarray*} \overline {\theta ^2} &=& \int{ \frac{d\sigma}{d\Omega} \theta^2 d\Omega} \end{eqnarray*}$$

/ dd

Consideraremos enseguida colisiones sucesivas a medida que la partícula cargada atravieza un grosor $dx$ de un material con densidad $rho$ y masa atómica $A$, y que contiene, por consiguiente $N_o \rho dx/A \ \ n\'ucleos \ \ por \ \ {cm}^2$.